Mathématiques de base Exemples

$\frac{3 - 2 i}{1 + 2 i} \cdot \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i}$

Étape 1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 - 2 i}{1 + 2 i} \cdot \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - 2 i}{1 + 2 i} \cdot 1$

Étape 2

Multipliez $\frac{3 - 2 i}{1 + 2 i}$ par $1$ .

$\frac{3 - 2 i}{1 + 2 i}$

Étape 3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 - 2 i}{1 + 2 i}$ par le conjugué de $1 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{3 - 2 i}{1 + 2 i} \cdot \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i}$

Étape 4

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez.

$\frac{(3 - 2 i) (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Développez $(3 - 2 i) (1 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (1 - 2 i) - 2 i (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- 2 i) - 2 i (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- 2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 3 (- 2 i) - 2 i \cdot 1 - 2 i (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{3 - 6 i - 2 i \cdot 1 - 2 i (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{3 - 6 i - 2 i - 2 i (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 2 i (- 2 i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{3 - 6 i - 2 i + 4 i i}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 6 i - 2 i + 4 (i^{1} i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 - 6 i - 2 i + 4 (i^{1} i^{1})}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 - 6 i - 2 i + 4 i^{1 + 1}}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 - 6 i - 2 i + 4 i^{2}}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 - 6 i - 2 i + 4 \cdot - 1}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3 - 6 i - 2 i - 4}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\frac{- 1 - 6 i - 2 i}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $2 i$ de $- 6 i$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Développez $(1 + 2 i) (1 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 - 8 i}{1 (1 - 2 i) + 2 i (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 - 8 i}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 - 8 i}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 - 2 i + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 - 2 i + 2 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i i}$

Étape 4.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 4.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 - 8 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2}}$

Étape 4.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 4.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 - 4 i^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 - 4 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{1 + 4}$

Étape 4.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{- 1 - 8 i}{5}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{- 1 - 8 i}{5}$ en deux fractions.

$\frac{- 1}{5} + \frac{- 8 i}{5}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} + \frac{- 8 i}{5}$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} - \frac{8 i}{5}$